ÁLGEBRA DE MATRICES: INVERSAS Y DETERMINANTES

INVERSAS Y DETERMINANTES

Inversa de una matriz A.B=I B.D=I

Ejemplo: Muestro que

El método de Gauss- Jordan

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.

Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.

Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.

Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

MÉTODO DE LEONTIEF (Input - Output)

El modelo de Leontief, también conocido como modelo Input-Output, es un modelo económico desarrollado por Wassily Leontief (1905-1999) por el cual obtuvo el Premio Nobel en el año 1973. El modelo consiste en un análisis de las industrias interdependenciales (dependen las unas de las otras) con el fin de averiguar los efectos que tendrían las variaciones en la producción de algunas de esas empresas sobre las demás.

Historia:

El modelo de Leontief proviene de modificaciones sobre antiguos modelos escritos por famosos economistas:

- En 1758, el economista francés Francois Quesnay desarrolló una versión más rudimentaria a la cual llamó Tableau économique.

- Karl Marx, años más tarde, fue el primero en traducir la obra de Quesnay a un sistema matricial de equaciones, en los llamados modelos de reproducción simple y reproducción ampliada (todos adjuntos en el volumen II de El Capital).

- En 1874, el economista francés León Walras, empleó un sistema de cocientes y nociones de la mecánica básica newtoniana a la economía dando lugar a su teoría del equilibrio generalizado en la economía.

- Durante la década de los años 20, Leontief presentó un modelo de tablas para la economía de Estados Unidos fijando la estructura metodológica empleada. Más tarde, en los años cincuenta, revisó y mejoro su trabajo; y en los años setenta, gracias al uso de computadoras, se popularizó el método y empezó a ser estudiado por diversos autores.

Metodología y resolución teórica:

El modelo de Leontief consiste en una ecuación matricial con el fin de determinar las interrelaciones entre los diferentes sectores de una región concreta. Este supone que la economía está formada por diversos sectores de producción y servicios, entre los cuales existe una demanda interna que satisfacer de los mismos, a la vez que una demanda externa que también hay que satisfacer. Veamos un ejemplo en la tabla de abajo:

Producción/Demanda Empresa 1 Empresa 2

Empresa 1 a b

Empresa 2 c d

Así pues, la tabla muestra la relación entre la Empresa 1 y la Empresa 2. El valor a expresa que la Empresa 1 requiere tanto de su propia producción. El valor b expresa que la Empresa 2 necesita tanto de la producción de la Empresa 1. El valor c expresa que la Empresa 1 necesita tanto de la producción de la Empresa 2. Y el valor d expresa que la Empresa 2 requiere tanto de su propia producción.

A partir de este punto, se definen las siguientes matrices:

- La matriz A representa los valores de tabla inicial colocados de forma matricial.

- La matriz D es el vector demanda externa.

- La matriz X es el vector producción ,el cual nos interesa encontrar el valor de sus elementos.

A partir de este punto, se coge la equación matricial:

X=AX+D

Y se aísla el vector producción para poder resolver el sistema:

IX-AX=D ; (I-A)X=D ; X=(I-A)-1D

Ejemplo resuelto:

Supongamos que tenemos la tabla siguiente:

Producción/Demanda Agricultura Manufactura

Agricultura 0.4 0.02

Manufactura 0.12 0.19

Y que sabemos que la demanda externa de agricultura es de 80 y la de manufactura es 200.

Entonces cogemos y creamos nuestras matrices:

Cogemos la ecuación matricial, despejamos la matriz X y resolvemos el sistema:

Así pues, obtenemos como resultado que la empresa agrícola ha de producir 142.26 unidades y la empresa manufacturera ha de producir 267.99 unidades para que ambas puedan satisfacer su demanda externa.

MATRIZ INVERTIBLE

A.A-1=I A-1.A=I

Ejemplo: Encontrar A-1 dada

Las inversas de las matrices tienen muchos usos, uno de los cuales esta en la solución de sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones puede describirse de forma matricial.
A.X= B

Si la matriz de de coeficiente A es invertible, existe A-1.

AX=B (Multiplicando a ambos lados por A-1)

A-1 Ax= A-1 B

(A-1 A)x -A-1 B

IX=A-1 B

X= A-1 B

Resolver el sistema de ecuaciones siguiente por el método de la inversa.

DETERMINANTES

Es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos, que veremos a continuación.

Determinante de orden 2

Determinante de orden 3

Ejemplo: Calcular el determinante.

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema que se aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales. El nombre de este teorema se debe a Gabriel Cramer, que fue quien publicó este método en uno de sus tratados.

Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer.